Question

（2008•長寧區二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O為AB中點，以O為坐標原點，x軸與AC平行，y軸與CB平行，建立直角坐標系，AC與y軸交于點M，BC與x軸交于點N．將一把三角尺的直角頂點放在坐標原點O處，繞點O旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊分別交射線CA、射線BC于點P、Q．
（1）證明：△OMP∽△ONQ；
（2）若∠A=60°，AB=4．設點P的橫坐標為x，PQ長為L．當點P在邊AC上運動時，求L與x的函數關系式及定義域；
（3）若∠A=60°，AB=4．當△PQC的面積為

3

2

時，試求CP的長．

Answer 1

分析：（1）根據∠OMC=∠ONQ=90°，∠MOP=∠NOQ，即可得出△OMP∽△ONQ；
（2）根據OM=AOsin60°=

3

，求出P縱坐標，設P（x，-

3

），PM=|x|，根據△BON≌△OAM，得出AM=ON，AM=AOcos60°=1，由相似得

ON

OM

=

OQ

OP

=

1

3

，OP=

3

OQ，得出OP²和OQ²，即可求出L²，從而得出A和C點的坐標，最后求出L與x的函數關系式及定義域；
（3）根據PQ=L，得出CP=1-x和

ON

QN

，再根據PM=|x|，QN=

|x|

3

，得出CQ的值，最后根據S=

1

2

CQ•CP，得出x的值，即可求出CP的長；

解答：（1）證明：∵∠OMC=∠ONQ=90°，
∵∠MOP=90°-∠PON，∠NOQ=90°-∠PON
∴∠MOP=∠NOQ
∴△OMP∽△ONQ；

（2）解：AO=

AB

2

=2，
OM=AOsin60°=

3

，
∴P縱坐標是-

3

，
P（x，-

3

），PM=|x|，
∵O是AB中點，
∴△BON≌△OAM，
∴AM=ON，
AM=AOcos60°=1，
由上面相似得

ON

OM

=

OQ

OP

=

1

3

，
∴OP=

3

OQ，
OP²=OM²+MP²=3+x²
OQ²=

OP2

3 2

=

x 2+3

3

，
L²=

4x2+12

3

，
L=

2 3 ( x2 +3)

3

，
CM=ON=AM=1
∴A（-1，-

3

），C（1，-

3

），
∴-1≤x≤1，

（3）解：PQ=L=

2 3 ( x2 +3)

3

，
AC=2，
則CM=1，
∴CP=1-x，
∵

OQ

OP

=

1

3

，
∴

ON

QN

=

1

3

，
PM=|x|，QN=

3

ON=

|x|

3

，
CN=OM=

3

，
∴CQ=QN+CN=

3

+

|x|

3

，
∴S=

1

2

CQ•CP=

1

2

（

3

+

|x|

3

）（1-x）=

3

2

，
x₁=0，x₂=1-

3

，
∵-1＜x＜1，
∴x=1-

3

，
CP=1-x=1-（1-

3

）=

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質；解題的關鍵是根據相似三角形的性質求出線段的長度，在計算時要注意x的取值范圍．