Question

16．請閱讀下面解方程（x²+1）²-2（x²+1）-3=0的過程．
解：設x²+1=y，則原方程可變形為y²-2y-3=0．
解得y₁=3，y₂=-1．
當y=3時，x²+1=3，∴x=±$\sqrt{2}$．
當y=-1時，x²+1=-1，x²=-2此方程無實數解．
∴原方程的解為x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$．
我們將上述解方程的方法叫做換元法．
請用換元法解方程：（$\frac{x}{x-1}$）²-2（$\frac{x}{x-1}$）-15=0．

Answer 1

分析 根據材料的提示，可以利用換元法解答分式方程，注意最后要驗根．

解答 解：（$\frac{x}{x-1}$）²-2（$\frac{x}{x-1}$）-15=0，
設$\frac{x}{x-1}$=a，
則a²-2a-15=0，
解得，a=-3或a=5，
當a=-3時，$\frac{x}{x-1}=-3$，解得，x=$\frac{3}{4}$，經檢驗x=$\frac{3}{4}$是分式方程的解，
當a=5時，$\frac{x}{x-1}=5$，解得x=$\frac{5}{4}$，經檢驗x=$\frac{5}{4}$是分式方程的解，
∴原分式方程的解是${x}_{1}=\frac{3}{4}$，${x}_{2}=\frac{5}{4}$．

點評 本題考查換元法解一元二次方程、換元法解解分式方程，解題的關鍵是明確用換元法解方程的方法．