Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），C（3，0），
（1）①作線段AB，使得AB、AC關(guān)于y軸對稱，并直接寫出點B的坐標；
②將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到對應(yīng)線段CD，使得AD∥x軸，請作出線段CD，并直接寫出點D的坐標；
（2）若直線y=kx平分（1）中四邊形ABCD的面積，請直接寫出實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，畫出線段AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得點B的坐標；
②如圖2，證明△ACB≌△CAD（AAS），則AD=BC=6，得點D的坐標；
（2）先根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分得：E是AC的中點，根據(jù)中點坐標公式得出點E的坐標，由直線y=kx平分（1）中四邊形ABCD的面積，可知：直線y=kx一定過點E，可求得k的值．

解答 解：（1）①如圖1，點B的坐標為（-3，0）；

②如圖2，∵A（0，4），C（3，0），
∴OA=4，OC=3，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
同理得：AB=5，
由旋轉(zhuǎn)得：CD=AC=5，
∴AB=CD=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠CAD=∠ADC，
∵AD∥x軸，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADC，
∴△ACB≌△CAD（AAS），
∴AD=BC=6，
∴D（6，4）；
（2）如圖3，連接BD交AC于E，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=CE，
∵A（0，4），C（3，0），
∴E（$\frac{3}{2}$，2），
∵直線y=kx平分（1）中四邊形ABCD的面積，
∴直線y=kx過點E（$\frac{3}{2}$，2），
把E（$\frac{3}{2}$，2）代入y=kx中得：2=$\frac{3}{2}$k，
k=$\frac{4}{3}$．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)關(guān)系式，圖形與坐標特點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和坐標與圖形特點是本題的關(guān)鍵，并注意數(shù)形結(jié)合的思想．