Question

3．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC，則CE即為CM+MN的最小值，再根據BC=4，∠ABC=45°，由銳角三角函數的定義即可求出CE的長．

解答 解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴M′E=M′N′，
∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，則CE即為CM+MN的最小值，
∵BC=2，∠ABC=45°，
∴CE=BC•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴CM+MN的最小值是$\sqrt{2}$．
故答案是：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．