Question

16．如圖，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，點P從點A出發（不含點A），沿A→B→C→D運動，同時，點Q從點B出發（不含點B），沿B→C→D運動，當點P到達點B時，點Q恰好到達點C，已知點P每秒比點Q每秒多運動1cm，當其中一點到達點D（不含點D）時，另一點停止運動．
（1）求P、Q兩點的速度；
（2）當其中一點到達點D時，另一點距離D點1cm（直接寫答案）；
（3）設點P、Q的運動時間為t（x），請用含t的代數式表示△APQ的面積為S（cm³），并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出P、Q兩點的速度之比，列出方程，解方程即可；
（2）根據題意分別求出點P到達點D和點Q到達點D所需的時間，計算即可；
（3）分0≤t≤2、2＜t≤$\frac{10}{3}$、$\frac{10}{3}$＜t≤5三個范圍，根據三角形的面積公式解答即可．

解答 解：（1）∵當點P到達點B時，點Q恰好到達點C，
∴P、Q兩點的速度之比為：6：4=3：2，
設點P的速度是3xcm/s，則點Q的速度是2xcm/s，
由題意得，3x-2x=1，
解得，x=1，
∴點P的速度是3cm/s，則點Q的速度是2cm/s；
（2）點P到達點D所需的時間為：（6+4+6）÷3=$\frac{16}{3}$s，
點Q到達點D所需的時間為：（6+4）÷2=5s，
∴點Q先到達點D，
則點P距離D點16-3×5=1cm，
故答案為：1；
（3）當0≤t≤2時，AP=3t，BQ=2t，
∴△APQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×AP×BQ=3t²，
當2＜t≤$\frac{10}{3}$時，BP=3t-6，CP=10-3t，CQ=2t-4，QD=10-2t，
∴△APQ的面積為S=6×4-$\frac{1}{2}$×6×（3t-6）-$\frac{1}{2}$×4×（10-2t）-$\frac{1}{2}$×（10-3t）×（2t-4）=3t²-21t+42，
當$\frac{10}{3}$＜t≤5時，PQ=6-（3t-10）-[6-（2t-4）]=6-t，
∴△APQ的面積為S=$\frac{1}{2}$×PQ×AD=12-2t．

點評 本題考查的是矩形的性質、等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的性質、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．