Question

【題目】菱形ABCD的周長為24，∠ABC=60°，以AB為腰在菱形外作底角為45°的等腰△ABE，連結AC，CE，則△ACE的面積為___________.

Answer 1

【答案】9或．

【解析】

分兩種情況畫圖，利用等腰直角三角形的性質和勾股定理矩形計算即可．

解：①如圖1，延長EA交DC于點F，

∵菱形ABCD的周長為24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
當EA⊥BA時，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=AC=3，
則△ACE的面積為：AE×CF=×6×3=9；

②如圖2，過點A作AF⊥EC于點F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，
∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=AE，AF=CF=AC=，
∵AB=BE=6，
∴AE=，
∴EF=，
∴EC=EF+FC=
則△ACE的面積為：EC×AF=．
故答案為：9或．