Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）.

（1）求∠BAC的度數；
（2）求△ABC面積的最大值.
（參考數據： ，，.）

Answer 1

（1）（2）

解：(1)解法一
連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E.
         
∵OE⊥BC，BC=，
∴.  ………………1分
在Rt△OBE中，OB=2，∵，
∴, ∴，
∴.      ………………4分
解法二
連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD.

∵BD是直徑，∴BD=4，.
在Rt△DBC中，,
∴，∴.………………4分
(2) 解法一
因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處.      ………………5分
過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC，.
      在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S_△ABC=.
答：△ABC面積的最大值是.         ………………7分
解法二
因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處.   ………………5分
過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC.
∵,   ∴△ABC是等邊三角形.       
在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S_△ABC=.               
答：△ABC面積的最大值是.      ………………7分
(1) 連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E.利用三角函數求得，再利用圓周角的定理求得∠BAC的度數
（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處，過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC，
利用三角函數求得AE的長，從而求得△ABC面積的最大值