Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD=  .

（1）求證：CD∥BF；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長.

Answer 1

（1）見解析（2）2（3）

解：（1）∵BF是⊙O的切線 ∴AB⊥BF  …………………1分
              ∵AB⊥CD    
∴CD∥BF………………………………………………2分
（2）連結BD
∵AB是直徑  ∴∠ADB=90° ………………………………………3分
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=…………………4分
∴cos∠BAD=
又∵AD=3      ∴AB=4
∴⊙O的半徑為2 ……………………………………5分
（3）∵cos∠DAE=    AD=3∴AE= …………………………6分
∴ED= ……………………………………………7分
∴CD=2ED= ………………………………………………………8分
（1）由平行公理可得
（2）連結BD，利用三角函數求得通過已知，即可求得⊙O的半徑
（3）利用三角函數求得AE的長，通過勾股定理求得ED的長，從而求得弦CD的長