Question

17．已知點D與點A（0，8），B（0，-2），C（x，y）是平行四邊形的四個頂點，其中x，y滿足x-y+6=0，則CD長的最小值為（　　）

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 如圖所示，根據平行四邊形的性質可知：對角線AB、CD互相平分，可得CD過線段AB的中點M，即CM=DM，根據A與B坐標求出M坐標，要求CD的最小值只需求出CM的最小值即可．

解答 解：根據平行四邊形的性質可知：對角線AB、CD互相平分，
∴CD過線段AB的中點M，即CM=DM，
∵A（0，8），B（0，-2），
∴M（0，3），
∵點到直線的距離垂線段最短，
∴過M作直線的垂線交直線于點C，此時CM最小，
直線x-y+6=0，令x=0得到y=6；令y=0得到x=-6，即F（-6，0），E（0，6），
∴OE=6，OF=6，EM=3，EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵△EOF∽△ECM，
∴$\frac{CM}{OF}=\frac{EM}{EF}$，
即$\frac{CM}{6}=\frac{3}{6\sqrt{2}}$，
解得：CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則CD的最小值為2CM=3$\sqrt{2}$．
因為當AB為邊時，CD長恒為10，當AB為對角線時CD最短是3根號2，
10＞3$\sqrt{2}$，
故選B．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判斷和性質以及坐標與圖形性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．