Question

3．如圖，⊙O的直徑為6，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P．已知BC：CA=4：3，P在半圓上運動，CP⊥CD交PB的延長線于D點．當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大為（　　）

• A． 36
• B． 24
• C． 18
• D． 12

Answer 1

分析 利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理計算出AC=$\frac{18}{5}$，BC=$\frac{24}{5}$，則S_△ACB=$\frac{216}{25}$，接著證明Rt△PDC∽Rt△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²，由于當PC為直徑時最大，S_△PDC最大，所以S_△PDC的最大值為$\frac{216}{25}$×（$\frac{6}{\frac{18}{5}}$）²=24．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，設(shè)BC=4x，AC=3x，
∴AB=5x，
∴5x=6，解得x=$\frac{6}{5}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$，BC=$\frac{24}{5}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$，
∵∠A=∠P，
∴Rt△PDC∽Rt△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²，
∴S_△PDC=$\frac{216}{25}$×（$\frac{PC}{\frac{18}{5}}$）²，
∴當PC最大時，S_△PDC最大，
而PC的最大值為6，
∴S_△PDC的最大值為$\frac{216}{25}$×（$\frac{6}{\frac{18}{5}}$）²=24．
故選B．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)時，主要利用相似比計算線段的長．也考查了圓周角定理．