Question

17．如圖，已知二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0）．連接AB、AC．
（1）請直接寫也二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達式；
（2）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），連接AN．
①當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；
②過點N作NM∥AC，交AB于點M，求△AMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），可以求得二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達式；
（2）①根據題意可分為兩種情況，一種情況是AN=CN，一種情況是CA=CN，然后根據已知可以分別求出兩種情況下點N的坐標；
②由題意可以作MD⊥x軸于點D，然后根據三角形相似，可以求得相應的邊的長度，從而可以求得△AMN面積的取值范圍．

解答 解：（1）此二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
理由：∵二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$
解得，a=$-\frac{1}{4}$，c=4，
即此二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達式是y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$；
（2）①N點的坐標為（3，0）或（$8-4\sqrt{5}，0$）；
理由：設點N的坐標為（n，0），
∵點A（0，4），點C坐標為（8，0），
∴OA=4，OC=8，
當AN=CN時，$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}=8-n$，得n=3，
當CA=CN時，$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=8-n$，得n=8-$4\sqrt{5}$，
故點N的坐標為（3，0）或（8$-4\sqrt{5}，0$）；
②設點N的坐標為（n，0），過點M作MD⊥x軸于點D，如下圖所示，

∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
∴y=0時，得x₁=-2，x₂=8，
即點B的坐標為（-2，0），
則BN=n+2，
∵MD⊥x軸，AO⊥x軸，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{MD}{AO}$，
∵MN∥AC
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}=\frac{BN}{BC}$，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD=$\frac{2}{5}（n+2）$，
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=$\frac{1}{2}×4×（n+2）-\frac{1}{2}×\frac{2}{5}（n+2）（n+2）$=$-\frac{1}{5}{n}^{2}+\frac{6}{5}n+\frac{16}{5}$=$-\frac{1}{5}（n-3）^{2}+5$，
∴當n=3時，S_△AMN取得最大值5，
即△AMN面積的取值范圍是0＜S_△AMN≤5．

點評 本題考查二次函數綜合題、求拋物線的解析式、等腰三角形的性質、三角形的相似、分類討論的數學思想、求二次函數的最值，解題的關鍵時明確題意，能根據拋物線上的點求出拋物線的解析式、會利用分類討論的數學思想解答問題、能根據三角形的相似解答相關問題，能將二次函數化為頂點式，求二次函數的最值．