Question

12．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連結AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形．△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB
（2）直角梯形OABC中，以O為坐標原點，A在x軸正半軸上建立直角坐標系（如圖2），若拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）經過點A、B、D，且B為拋物線的頂點．
①寫出A的坐標（3，0），頂點B的坐標（用a的代數式表示）（1，-4a）．
②求拋物線的解析式．
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點P：過點P作PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理知：∠ADB=90°，首先可聯想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一對相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①令y=0，求出A點坐標，用公式法或配方法均能求出頂點B的坐標；
②根據拋物線的解析式，易求得B、D、A的坐標，也就得到了OA、OD、CD、BC的長，根據（1）得出的相似三角形，即可根據對應的成比例線段求出a的值，也就能求出拋物線的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN與△OAD相似，則△PAN也必須是等腰Rt△；可根據拋物線的解析式設出P點坐標，然后根據PN=AN的條件來求出P點的坐標．（注意P點橫坐標的取值范圍）

解答 解：（1）如圖1，∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠CDB，
∵∠C=∠O=90°，
∴△OAD∽△CDB，
∵∠BAD=∠BED，
∠C=∠ADB，
∴△ADB∽△ECB；
故答案為：△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；

（2）①A點坐標（3，0），B點坐標（1，-4a）
故答案為：（3，0），（1，-4a）；

②∵△OAD∽△CDB
∴$\frac{DC}{OA}$=$\frac{CB}{OD}$，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴$\frac{1}{-3a}$=$\frac{-a}{3}$，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1；
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

③存在，
設P（x，-x²+2x+3），
如圖2，∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，
∴PN=AN，
當x＜0（x＜-1）時，-x+3=-（-x²+2x+3），
解得：x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5），
當x＞0（x＞3）時，x-3=-（-x²+2x+3），
解得：x₁=0，x₂=3；（都不合題意舍去）
符合條件的點P為：（-2，-5）．

點評 此題考查了直角梯形的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質等，涉及知識點較多，難度較大，正確利用數形結合、分類討論分析是解題關鍵．