Question

17．如圖，已知一次函數y=-$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸和y軸分別相交于A，B兩點，點C在AB上，以1個單位/s的速度從點B向A運動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向O運動，運動時間用t（s）表示．
（1）求AB的長；
（2）當t為何值時，△ACD和△AOB相似，并直接寫出D點的坐標．

Answer 1

分析 （1）在一次函數解析式中分別令y=0和x=0，則可求得A、B兩點的坐標，利用勾股定理可求得AB的長；
（2）用t可分別表示出AC和AD，根據相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值，則可求得D點坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，令x=0可得y=3，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5；
（2）由題意可知BC=AD=t，則AC=AB-BC=5-t，
∵△ACD和△AOB相似，
∴有CD⊥OA和CD⊥AB兩種情況，
①當CD⊥OA時，則有$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，解得t=$\frac{20}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{20}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴D（$\frac{16}{9}$，0）；
②當CD⊥AB時，則有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{OA}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，解得t=$\frac{25}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{25}{9}$=$\frac{11}{9}$，
∴D（$\frac{11}{9}$，0）；
綜上可知當t的值為$\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$，此時D點坐標為（$\frac{16}{9}$，0）或（$\frac{11}{9}$，0）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數圖象與坐標軸的交點、勾股定理、相似三角形的性質、方程思想和分類討論思想等知識．在（1）中利用一次函數解析式求得OA、OB的長是解題的關鍵，在（2）中用t表示出AD和AC的長，利用相似三角形的性質得到關于t的方程是解題的關鍵．本題考查知識點相對不多，綜合性較強，難度不大．