Question

1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，若⊙O的半徑為6cm，且∠AED=45°．
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）若EF=1cm，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、DB，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠ABD=∠AED=45°，則△ADB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC∥AB，所以DO⊥DC，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DC為⊙O的切線；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC=AB=12cm，然后根據(jù)扇形的面積公式和陰影部分面積=S_梯形DOBC-S_扇形BOD進(jìn)行計(jì)算；
（3）設(shè)OF=a，DF=b，由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB，即b=（3+a）（3-a）①，又b²-a²=9②，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連接OD、DB，如圖，
∵AB⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠AED=45°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴DO⊥DC，
∴DC為⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB=12cm，
∴陰影部分面積=S_梯形DOBC-S_扇形BOD
=$\frac{1}{2}$×（6+12）×6-$\frac{90π•{6}^{2}}{360}$=（54-9π）cm²；

（3）設(shè)OF=a，DF=b，由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB，
∴b=（3+a）（3-a）①
又∵b²-a²=9②，
由①②得到b=$\frac{-1+\sqrt{73}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{73}}{2}$（舍棄），
∴DF=$\frac{\sqrt{73}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了平行四邊形的性質(zhì)和扇形的面積公式，學(xué)會(huì)利用分割法求面積，相交用方程組的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．