Question

1．如圖，在等腰三角形ABC中，CE，BF是兩腰上的高線，點P，Q分別在BE，CF的延長線上，且BP=AC，CQ=AB，△APQ是等腰三角形嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 利用已知條件先證明△BEC≌△BFC，得到∠BCE=∠BCF，進一步證明∠ABP=∠ACQ，再證明△ABP≌△AQC，得到AQ=AP，即△APQ為等腰三角形．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE，BF是兩腰上的高線，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
在△BEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}\\{∠BEC=∠BFC=90°}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BFC，
∴∠BCE=∠BCF，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABP=∠ACQ}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AQC，
∴AQ=AP，
∴△APQ為等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明△BEC≌△BFC，△ABP≌△AQC．