Question

9．如圖，△ABC中，AC=2AB，AD是角平分線，點E在DB的延長線上，AB是△AED的中線．求證：∠1=∠C．

Answer 1

分析 延長AB至F，連接DF，由SAS證明△BDF≌△BEA，得出對應角相等∠F=∠1，證出AF=AC，∠2=∠3，由SAS證明△ADF≌△ADC，得出∠F=∠C，即可得出∠1=∠C．

解答 證明：延長AB至F，連接DF，如圖所示：

∵AB是△AED的中線，
∴BD=BE，
在△BDF和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}&{\;}\\{∠DBF=∠EBA}&{\;}\\{BF=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BEA（SAS），
∴∠F=∠1，
∵AC=2AB，AB=BF，
∴AF=AC，
∵AD是角平分線，
∴∠2=∠3，
在△ADF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠F=∠C，
∴∠1=∠C．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的中線以及角平分線；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．