Question

19．如圖，在△ABC中，D為直線BC上任意一點，給出以下判斷：
①若點D到AB，AC距離相等，且BD=DC，則AB=AC；
②若AD⊥BC且AD²=BD•DC，則∠BAC=90°；
③若AB=AC，則AD²+BD•DC=AC²；
④若∠BAC=90°，且AD⊥BC，則AD²=BD•DC．
其中正確的是①②④（把所有正確結論序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 ①如圖1，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，通過證明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到∠B=∠C，即可得到結論；
②由垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°，由AD²=BD•DC，得到$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，證得△ABD∽△ACD，根據相似三角形的性質得到∠BAD=∠C，即可得到結論；
③作AE⊥BC于E，根據勾股定理得到AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，再兩式相減即可求解；
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，則可判斷Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根據比例的性質即可得到結論．

解答 解：①如圖1，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵點D到AB，AC距離相等，
∴DE=DF，
在Rt△BDE與Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD²=BD•DC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
∴△ABD∽△ACD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠BAC=90°；
③如圖2，作AE⊥BC于E，則
AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
則AB²-AD²=（AE²+BE²）-（AE²+DE²）=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE）=BD•DC，
則AD²+BD•DC=AB²，
∵AB=AC，
∴AD²+BD•DC=AC²；
如圖3，作AE⊥BC于E，則
AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
則AD²-AB²=（AE²+DE²）-（AE²+BE²）=DE²-BE²=（BE+DE）（DE-BE）=BD•DC，
則AD²-BD•DC=AB²，
∵AB=AC，
∴AD²-BD•DC=AC²；故③錯誤；
④∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD²=CD•BD．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．