Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0．

（1）求證：當(dāng)a取不等于1的實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若m，n（m＜n）是此方程的兩根，并且．直線l：y=mx+n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O′在反比例函數(shù)的圖象上，求反比例函數(shù)的解析式；

（3）在（2）成立的條件下，將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°），得到直線l′，l′交y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與上述反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形APQO′的面積為時(shí)，求θ的值．

Answer 1

 

【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

【專題】綜合題．

【分析】（1）由方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0為一元二次方程，所以a≠0；要證明方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即證明當(dāng)a取不等于1的實(shí)數(shù)時(shí)，△＞0，而△=（2﹣3a）²﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）²，即可得到△≥0．

（2）先利用求根公式求出兩根3，，再代入，可得到a=2，則m=1，n=3，直線l：y=x+3，這樣就可得到坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，代入反比例函數(shù)，即可確定反比例函數(shù)的解析式；

（3）延長PQ，AO′交于點(diǎn)G，設(shè)P（0，p），則Q（﹣，p）．四邊形APQO'的面積=S_△APG﹣S_△QGO′=，這樣可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，這樣就可求出θ．

【解答】（1）證明：∵方程（a﹣1）x²+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，

∴a﹣1≠0，即a≠1．

∴△=（2﹣3a）²﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）²，而（3a﹣4）²≥0，

∴△≥0．

所以當(dāng)a取不等于1的實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的兩根，

∴m+n=﹣，mn=．

∵， =，

∴﹣=，

∴a=2，即可求得m=1，n=3．

∴y=x+3，則A（﹣3，0），B（0，3），

∴△ABO為等腰直角三角形，

∴坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函數(shù)，得k=﹣9，

所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣；

 

（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，p），延長PQ和AO′交于點(diǎn)G．

∵PQ∥x軸，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)Q，

∴四邊形AOPG為矩形．

∴Q的坐標(biāo)為（﹣，p），

∴G（﹣3，P），

當(dāng)0°＜θ＜45°，即p＞3時(shí)，

∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，

∴S_{四邊形APQO′}=S_△APG﹣S_△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，

∴=9﹣，

∴p=．（合題意）

∴P（0，）．則AP=6，OA=3，

所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；

當(dāng)θ=45°時(shí)，直線l于y軸沒有交點(diǎn)；

當(dāng)45°＜θ＜90°，則p＜﹣3，

用同樣的方法也可求得p=，這與p＜﹣3相矛盾，舍去．

所以旋轉(zhuǎn)角度θ為15°．

【點(diǎn)評(píng)】題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²﹣4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和一些幾何圖形的性質(zhì)．