Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，將△ABC繞點C逆時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，A′B′與BC交于點D，則△A′CD的面積為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據旋轉的性質得CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，則△CAA′為等邊三角形，所以∠ACA′=60°，則可計算出∠BCA′=30°，∠A′DC=90°，然后在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三邊的關系得A′D=$\frac{1}{2}$CA′=1，CD=$\sqrt{3}$A′D=$\sqrt{3}$，再利用三角形面積公式求解．

解答 解：在Rt△ACB=90°，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC繞點C逆時針旋轉至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，
∴△CAA′為等邊三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=30°，
∴∠A′DC=90°，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，
∴A′D=$\frac{1}{2}$CA′=1，CD=$\sqrt{3}$A′D=$\sqrt{3}$，
∴△A′CD的面積=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．