Question

18．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=4，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動（點D不與點A，C重合），且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：
（1）△DFE是等腰直角三角形；
（2）四邊形CEDF有可能成為正方形；
（3）四邊形CEDF的面積隨點E的位置的改變而發生變化；
（4）點C到線段DE的最大距離為$\sqrt{2}$．
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 （1）易證△ADF≌△CEF，從而可得FD=FE，∠AFD=∠CFE，即可得到∠DFE=∠AFC=90°，從而可得△DFE是等腰直角三角形．
（2）當FD⊥AC時，易證四邊形CEDF是矩形，由FD=FE可得矩形CEDF是正方形；
（3）由△ADF≌△CEF可得S_△ADF=S_△CEF，從而可得S_{四邊形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC（定值）；
（4）易得當DE⊥CF時，點C到線段DE的距離最大，等于$\frac{1}{2}$CF，只需求出CF，即可解決得到點C到線段DE的最大距離．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=CB=4，F是AB邊上的中點，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACF=∠BCF=45°．
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠ECF}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴FD=FE，∠AFD=∠CFE，
∴∠DFE=∠AFC=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
故（1）正確；
（2）當FD⊥AC時，
∵∠DCE=∠CDF=∠DFE=90°，
∴四邊形CEDF是矩形．
∵FD=FE，
∴矩形CEDF是正方形．
故（2）正確；
（3）∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
故（3）錯誤；
（4）當FD垂直于AC時，三角形FDE的面積最小，而四邊形CDFE的面積不變，此時三角形CDE的面積最大，而此時DE正好是最小值．所以C點到DF的距離最大，此時點C到線段DE的為$\frac{1}{2}$CF，即$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故（4）正確．
綜上所述：（1）（2）（4）正確．
故選C．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，通過推理論證每個命題的正誤是解決此類題目的關鍵．