Question

16．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC邊上一動點（不含B，C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處，在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．
發現：△CMP和△BPA是否相似，若相似給出證明，若不相似說明理由；
思考：線段AM是否存在最小值？若存在求出這個最小值，若不存在，說明理由；
探究：當△ABP≌△ADN時，求BP的值是多少？

Answer 1

分析 發現：先證明∠MPA=90°，然后依據同角的余角相等可證明∠CPM=∠PAB，結合條件∠C=∠B=90°，可證明量三角形相似；
思考：設PB=x，則CP=4-x，依據相似三角形的性質可得到CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），作MG⊥AB于G，依據勾股定理可得到AM=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，則AG最小值時，AM最小，然后由AG=AB-BG=AB-CM得到AG與x的函數關系，依據二次函數的性質可求得當x=2時，AG最小值=3；
探究：依據全等三角形的性質和翻折的性質可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z．然后可證明△BPK為等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，最后依據AK+BK=4列出關于z的方程求解即可．

解答 解：發現．∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．
思考：設PB=x，則CP=4-x．
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}=\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x）．
如圖1所示：作MG⊥AB于G．

∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
∴AG最小值時，AM最�。�
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴x=2時，AG最小值=3．
∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5．
探究：∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，
又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，
∴∠EAP=∠EAN，
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．
如圖2：在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z．

∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，
∴z+$\sqrt{2}$z=4，
∴z=4$\sqrt{2}$-4．
∴PB=4$\sqrt{2}$-4．

點評 本題主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了相似三角形的性質和判定、翻折的性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定，二次函數的最值，列出AG的長與x的函數關系式是解答問題（2）的關鍵；截取AK=PK，構造出等腰直角△PBK，然后依據題意列出關于z的方程是解答問題（3）的關鍵．