Question

16．已知，△ADB內接于⊙O，DG⊥AB于點G，交⊙O于點C，點E是⊙O上一點，連接AE分別交CD、BD于點H、F．

（1）如圖1，當AE經過圓心O時，求證：∠AHG=∠ADB；
（2）如圖2，當AE不經過點O時，連接BC、BH，若∠GBC=∠HBG時，求證：HF=EF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BE，由DG∥BE，推出∠AEB=∠AHG，由∠ADB=∠AEB，即可推出∠ADB=∠AHG．
（2）連接AC、DE，EB、AC、BC．只要證明HG=CG，∠EDB=∠CDB，根據等腰三角形三線合一即可證明．
（3）過點O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分別為N、M，連接OD、OE、OA、OB．只要證明△NOE≌△MBO，推出NE=OM=3，OB=$\sqrt{{3}^{3}+{4}^{2}}$=5，在RT△OMB中，根據sin∠OBM=$\frac{OM}{OB}$，計算即可．

解答 證明：（1）如圖1中，連接BE，

∵AE是⊙O的直徑∴∠ABE=90°，
∵DG⊥AB，
∴∠ABE=∠AGD=90°，
∴DG∥BE，
∴∠AEB=∠AHG，
∵∠ADB=∠AEB
∴∠ADB=∠AHG．

（2）連接AC、DE，EB、AC、BC．

∠GBC=∠HBG，DG⊥AB
∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，
∴HG=CG，
∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG
∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，
∴∠AED=∠DHE，
∴DH=DE，
∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，
∴∠EDB=∠CDB，
∴HF=EF．

（3）過點O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分別為N、M，連接OD、OE、OA、OB．

∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DH=DE=6，HF=EF，
∴DF⊥AE，
∴∠DAE+∠BDA=90°，
∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB，
∴∠BOA+∠EOD=180°，
∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，
∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，
∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，
∴△NOE≌△MBO
∴NE=OM=3，
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠ADB=∠BOM，
∴∠DAF=∠OBM，
在RT△OMB中sin∠OBM=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{3}{5}$
∴sin∠DAE=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查圓綜合題、同弧所對的圓周角相等、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．