Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，b）（b＞0），點P是直線AB上位于第二象限內的一個動點，過點P作PC⊥x軸于點C，記點P關于y軸的對稱點為Q，設點P的橫坐標為a．
（1）當b=3時，
①求直線AB的解析式；
②若QO=QA，求P點的坐標．
（2）是否同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由題意確定出B坐標，設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由AQ=QO以及OA的長，確定出Q橫坐標，根據P與Q關于y軸對稱，得出P橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，即可確定出P坐標；
（2）同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．

解答 解：（1）①由A（4，0），B（0，3），
設直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=3，
則直線AB解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
②∵QA=QO，OA=4，
∴x_Q=2，
∵點P關于y軸的對稱點為Q，
∴x_P=-2，
代入直線AP解析式得-$\frac{3}{4}$×（-2）+3=$\frac{9}{2}$，
則P坐標得P（-2，$\frac{9}{2}$）；
（2）①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴x_Q=4，
∴a=x_P=-4，
∴AC=AQ=8，即P（-4，8），
∴直線AP解析式為y=-x+4，
∴a=-4，b=4；
②若∠AQC=90°，如圖2所示，

則AC=4-a=2CH=-4a，
∴a=-$\frac{4}{3}$，
∴x_P=-$\frac{4}{3}$，y_P=y_q=$\frac{8}{3}$，即P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∴直線AP解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴a=-$\frac{4}{3}$，b=2，
③P、Q重合于（0，4）時，△QCA也是等腰直角三角形，此時a=0，b=4
綜上所示，a=-4，b=4或a=-$\frac{4}{3}$，b=2或a=0，b=4．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數解析式，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形性質，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵．