Question

16．如圖，⊙O的直徑FD⊥弦AB于點H，E是$\widehat{BF}$上一動點，連結(jié)FE并延長交AB的延長線于點C，AB=8，HD=2．
（1）求⊙O的直徑FD；
（2）在E點運動的過程中，EF•CF的值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，請說明理由；
（3）當(dāng)E點運動到$\widehat{DBF}$的中點時，連接AE交DF于點G，求△FEA的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由垂徑定理得到AH=$\frac{1}{2}$AB=4，設(shè)OA=x，在Rt△OAH中，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AF}=\widehat{BF}$，根據(jù)圓周角定理得到∠BAF=∠AEF，推出△FAE∽△FCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{AF}$，推出AF²=EF•CF，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（3）連接OE，由E點是$\widehat{DBF}$的中點，得到∠FAE=45°，∠EOF=90°，于是得到∠EOH=∠AHG，推出△OGE∽△HGA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OE}{AH}=\frac{OG}{HG}$，求得OG=$\frac{5}{3}$，得到FG=OF+OG=$\frac{20}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OA，
∵直徑FD⊥弦AB于點H，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=4，
設(shè)OA=x，
在Rt△OAH中，AO²=AH²+（x-2）²，
即x²=4²+（x-2）²，
∴x=5，
∴DF=2OA=10；

（2）是，
∵直徑FD⊥弦AB于點H，
∴$\widehat{AF}=\widehat{BF}$，
∴∠BAF=∠AEF，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△FAE∽△FCA，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{AF}$，
∴AF²=EF•CF，
在Rt△AFH中，
AF²=AH²+FH²=4⁴+8²=80，
∴EF•CF=80；

（3）連接OE，
∵E點是$\widehat{DBF}$的中點，
∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，
∴∠EOH=∠AHG，
∵∠OGE=∠HGA，
∴△OGE∽△HGA，
∴$\frac{OE}{AH}=\frac{OG}{HG}$，
即$\frac{5}{4}$=$\frac{OG}{3-OG}$，
∴OG=$\frac{5}{3}$，
∴FG=OF+OG=$\frac{20}{3}$，
∴S_△FEA=S_△EFG+S_△AFG=$\frac{1}{2}$FG•OE+$\frac{1}{2}$FG•AH=$\frac{1}{2}×\frac{20}{3}$×（4+5）=30．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．