Question

20．如圖，已知拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}+bx+c$交y軸于點C（0，-3），與x軸交于點A，B（點A在點B右側），且OA=2OC
（1）求該拋物線的表達式及頂點M坐標；
（2）在線段OA上的點D，滿足S_△CMA=S_△DMA，求D點坐標；
（3）求sin∠MCA的值．

Answer 1

分析 （1）已知C的坐標，則OC即可求得，根據OA=2OC即可氣度而OA的長，得到A的坐標，然后把A和C的坐標代入解析式求得b和c的值，求得函數解析式，再利用配方法求得頂點坐標；
（2）根據S_△CMA=S_△DMA，可得CD∥AM，首先求得AM的解析式，則CD的解析式即可求得，則D的坐標即可得到；
（3）過M作AC的垂線，垂足為H，根據三角函數的定義即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}+bx+c$交y軸于點C（0，-3），與x軸交于點A，B
（點A在點B右側），且OA=2OC．
∴A（6，0），
將A，C坐標代入得：c=-3，9+6b+c=0，
可得：b=-1，解析式為$y=\frac{1}{4}{x^2}-x-3$．
頂點M（2，-4）；

（2）D為線段OA上一點，且S_△CMA=S_△DMA
過點C，D分別作AM的垂線，垂足為E，F．
∵${S_{△CMA}}=\frac{1}{2}AM×CE，{S_{△DMA}}=\frac{1}{2}AM×DF$，
∴DF=CE，又D，C在AM同側，
∴CD∥AM，
設直線AM的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
則AM的解析式是：y=x-6，
設CD的解析式是y=x+d，
把（0，-3）代入得d=-3．
則CD的解析式是：y=x-3，
令y=0，則x=3，則D的坐標是（3，0）；

（3）過M作AC的垂線，垂足為H，如圖（2）．
由上題結論，易知S_△CMA=S_△DMA=6，
又AC=$3\sqrt{5}$，
則MH=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
又CM=$\sqrt{5}$，
∴sin∠MCA=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式，以及三角函數的定義，正確根據S_△CMA=S_△DMA，得到CD∥AM是解決本題的關鍵．