Question

7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以AB長為一邊作△ABD，∠ADB=90°，取AB中點E，連DE、CE、CD．
（1）求證：DE=CE
（2）當(dāng)∠CAB+∠DBA=60°，時，△DEC是等邊三角形，并說明理由
（3）當(dāng)∠CAB+∠DBA=45°時，若CD=5，取CD中點F，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）證明A、B、C、D四點共圓，E是圓心，由圓周角定理得出∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°，求出∠DEC=60°即可；
（3）同（2）證出∠DEC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=CE；
（2）解：當(dāng)∠CAB+∠DBA=60°時，△DEC是等邊三角形，理由如下：
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四點共圓，E是圓心，
∴∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA=60°，
∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°，
∴∠DEC=60°，
∵DE=CE，
∴△DEC是等邊三角形；
故答案為：60°；
 （3）解：同（2）得：∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，
∵∠CAB+∠DBA=45°，
∴∠BEC+∠AED=2×45°=90°，
∴∠DEC=90°，
∵F是CD的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=2.5．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題有一定難度．