Question

2．如圖，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1與x軸分別相交于點A、B，與y軸相交于點C，且OA=OC．
（1）求點A、B的坐標；
（2）若點D到點A、B、C的距離相等，則拋物線上是否存在一點P，使以P、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意求得OA=OC=1，從而求得A的坐標（-1，0），C（0，-1），把A的坐標代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1求得b，求得解析式，令y=0，解方程即可求得B的坐標．
（2）根據題意得出D的坐標，根據B、C、D的坐標即可求得使P，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形的P的坐標．然后檢驗點P是否在拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1上即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1與x軸交于A，B，與y軸交于C，且OA=OC，
∴OA=OC=1，
∴A的坐標（-1，0），C（0，-1），
代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1得0=$\frac{1}{3}$-b-1，解得，b=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
令y=0，則$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1=0，解得，x₁=-1，x₂=3，
∴B的坐標為（3，0）．
（2）如圖，∵D到A，B，C距離相等，
∴D是直線y=x和x=1的交點，
∴D（1，1），
∵使P，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，B（3，0），C（0，-1），
∴P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0），
把P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）分別代入y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
得P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）都不在拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1，
∴拋物線上不存在一點P，使以P、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題考查了拋物線和x軸的交點以及待定系數法求解析式，平行四邊形的判定，熟練掌握待定系數法和平行四邊形的判定是解題的關鍵．