Question

14．在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若在該拋物線的對稱軸l上存在一點M，使MB+MC的值最小，求點M的坐標以及MB+MC的最小值；
（3）若點P為拋物線AB段上一點，求點P到直線AB的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據函數值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得A、C關于對稱軸對稱，根據兩點之間線段最短，可得AB，根據勾股定理，可得AB的長，根據自變量與函數值的對應關系，可得M的坐標；
（3）當AB⊥AP時，點P到直線AB的距離最大．

解答 解：（1）將A、B、C的坐標代入函數解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）如圖1，連接AB交對稱軸于M，連接MC，
由A、C關于對稱軸對稱，得AM=MC．
由兩點間線段最短，得
MB+MC=AM+MB=AB．
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即MB+MC=3$\sqrt{2}$，
設AB的解析式為y=kx+t（k≠0），將A、B坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式為y=x+3，
當x=-1時，y=2，即M（-1，2）；

（3）如圖2，當AB⊥AP時，點P到直線AB的距離最大．
設AP交y軸于點Q．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠OBP=45°，
∴OA=OQ=3，
易得直線AQ的解析式為：y=-x-3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
此時P（2，-5）．
則PA=$\sqrt{[2-（-3）]^{2}+（-5-0）^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
即點P到直線AB的最大距離是5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用兩點之間線段最短得出AB=BM+CM是解題關鍵；利用圖形得到“當AB⊥AP時，點P到直線AB的距離最大”是解題的關鍵．