Question

2．（1）如圖1，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM=ON，過點M、N分別作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分別為線段MP、NP上的點，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，延長PM到S，使MS=NF，連接OS．則∠EOF與∠EOS的數量關系為相等，線段NF、EM、EF的數量關系為EF=NF+EM；
（2）如圖2，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分別為線段MP、NP上的點，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中的線段NF、EM、EF的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．
（3）如圖3，點M、N分別在∠AOB的邊OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分別為線段PM、NP延長線上的點，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中線段NF、EM、EF的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）結論：相等，EF=FN+EM．先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．
（2）結論：EF=FN+EM．如圖2中，延長EM到S，使得SM=FN，連接SO，先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．
（3）結論：EF=FN-EM．如圖3中，延長ME到S，使得MS=FN，連接SO，先證明△OMS≌△ONF，再證明△OES≌△OEF即可解決問題．

解答 解：（1）結論：相等，EF=FN+EM．
理由：如圖1中，

在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
故答案為相等，EF=FN+EM．

（2）如圖2中，延長EM到S，使得SM=FN，連接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

（3）結論：EF=FN-EM．
理由：如圖3中，延長ME到S，使得MS=FN，連接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．