Question

13．如圖，對正方形紙片ABCD進行如下操作：

（1）過點D任作一條直線與BC邊相交于點E₁（如圖①），記∠CDE₁=a₁；
（2）作∠ADE₁的平分線交AB邊于點E₂（如圖②），記∠ADE₂=a₂；
（3）作∠CDE₂的平分線交BC邊于點E₃（如圖③），記∠CDE₃=a₃；
按此作法從操作（2）起重復以上步驟，得到a₁，a₂，…，a_n，…，現有如下結論：
①當a₁=10°時，a₂=40°；
②2a₄+a₃=90°； 
③當a₅=30°時，△CDE₉≌△ADE₁₀；
④當a₁=45°時，BE₂=$\sqrt{2}$AE₂．
其中正確的個數為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據角平分線的定義計算即可；
②根據題意、結合圖形計算；
③根據全等三角形的判定定理證明；
④作E₂F⊥BD于F，根據等腰直角三角形的性質得到BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，根據角平分線的性質得到AE₂=FE₂，等量代換即可．

解答 解：①當a₁=10°時，a₂=$\frac{90°-10°}{2}$=40°，①正確；
②由圖③可知，2a₄+a₃=90°，②正確；
③當a₅=30°時，a₉=30°，a₁₀=30°，
在△CDE₉和△ADE₁₀中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CD{E}_{9}=∠AD{E}_{10}}\\{∠C=∠A}\\{DC=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE₉≌△ADE₁₀，③正確；
④當a₁=45°時，點E₁與點B重合，
作E₂F⊥BD于F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴BE₂=$\sqrt{2}$FE₂，
∵DE₂平分∠ADB，E₂F⊥BD，∠A=90°，
∴AE₂=FE₂，
∴BE₂=$\sqrt{2}$AE₂，④正確，
故選：D．

點評 本題考查的是正方形的性質、角平分線的性質、全等三角形的判定，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等、全等三角形的判定定理是解題的關鍵．