Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M為AB中點，D是射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接ED、ME，點D在運動過程中ME的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接EB，過點M作MG⊥EB于點G，過點A作AK⊥AB交BD的延長線于點K，則△AKB是等腰直角三角形．推出△ADK≌△ABE，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角，求出BC=4，AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，由ME≥MG，于是得到當ME=MG時，ME的值最小．

解答 解：連接EB，過點M作MG⊥EB于點G，過點A作AK⊥AB交BD的延長線于點K，則△AKB是等腰直角三角形．
在△ADK與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AK=AB}\\{∠KAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{2}$，
∴MG=2，∠G=90°
∴BM≥MG，
∴當ME=MG時，ME的值最小，
∴ME=BE=2
故選：A

點評 本題證明線段最短有一點的難度．但通過構造全等三角形，利用全等三角形和直角三角形的性質就變得容易．