Question

1．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，過點B作BE⊥AC，垂足為E，把△ABE沿AE翻折，得△APE．
（1）求PE的長；
（2）將△APE沿射線AC平移，設點A移動距離為x，平移后的圖形與△ACD重合部分的面積為y，求y與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理求得AB=10，再由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC可得PE=BE的值；
（2）分三種情況：①0＜x≤$\frac{14}{5}$時，利用勾股定理求得A′E′=AE=$\frac{18}{5}$、AE′=x+$\frac{18}{5}$、ME′=AE′tan∠CAD=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$），證△AJN∽△ADC、△A′JN∽△A′P′E′得$\frac{AJ}{NJ}$=$\frac{AD}{CD}$、$\frac{A′J}{A′E′}$=$\frac{NJ}{P′E′}$，設A′J=m、NJ=n，可由$\frac{x+m}{n}=\frac{8}{6}$、$\frac{m}{\frac{18}{5}}$=$\frac{m}{\frac{24}{5}}$得NJ=$\frac{12}{7}$x，根據S_重疊=S_△AE′M-S_△AA′N可得；
②$\frac{14}{5}$＜x≤$\frac{32}{5}$時，由AC=10、AA′=x知A′C=10-x，過點M作MK⊥A′C，由∠1=∠2=∠3=∠4知MA′=MC=10-x，從而得CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{10-x}{2}$、MK=CKtan∠4=$\frac{2}{3}$（10-x），由CE′=CE-EE′=$\frac{32}{5}$-x得NE′=CE′tan∠4=$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x），根據S_重疊=S_△A′CM-S_△CE′N可得；
③$\frac{32}{5}$＜x≤10時，A′C=AC-AA′，過點M作MK⊥A′C于點K，由②知MA′=MC即可得CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{1}{2}$（10-x），從而有MK=CMtan∠MCK=$\frac{2}{3}$（10-x），根據S_重疊=$\frac{1}{2}$A′C•MK可得答案．

解答 解：（1）∵AB=6、BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵BE⊥AC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC，即$\frac{1}{2}$×10×BE=$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：BE=$\frac{24}{5}$，
∵△ABE沿AE翻折得△APE，
∴PE=BE=$\frac{24}{5}$；

（2）①如圖1，當0＜x≤$\frac{14}{5}$時，

∵AP=AB=6、PE=BE=$\frac{24}{5}$，
∴A′E′=AE=$\sqrt{A{P}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
則AE′=x+$\frac{18}{5}$，
∴ME′=AE′tan∠CAD=AE′×$\frac{CD}{AD}$=$\frac{6}{8}$（x+$\frac{18}{5}$）=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$），
過點N作NJ⊥AC于點J，則∠NJA=∠CDA=∠P′E′A′，
∵∠JAN=∠DAC、∠JA′N=∠E′A′P′，
∴△AJN∽△ADC、△A′JN∽△A′P′E′，
∴$\frac{AJ}{NJ}$=$\frac{AD}{CD}$、$\frac{A′J}{A′E′}$=$\frac{NJ}{P′E′}$，
設A′J=m，NJ=n，
∴$\frac{x+m}{n}=\frac{8}{6}$、$\frac{m}{\frac{18}{5}}$=$\frac{m}{\frac{24}{5}}$，
解得：n=$\frac{12}{7}$x，即NJ=$\frac{12}{7}$x，
∴S_重疊=S_△AE′M-S_△AA′N=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{18}{5}$）•$\frac{3}{4}$（x+$\frac{18}{5}$）-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{12}{7}$x=-$\frac{27}{56}$x²+$\frac{27}{10}$x+$\frac{241}{50}$；
②如圖2，當$\frac{14}{5}$＜x≤$\frac{32}{5}$時，

∵AC=10、AA′=x，
則A′C=10-x，
過點M作MK⊥A′C，
∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴MA′=MC=10-x，
則CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{10-x}{2}$，
∴MK=CKtan∠4=CK•$\frac{AD}{CD}$=$\frac{10-x}{2}$×$\frac{8}{6}$=$\frac{2}{3}$（10-x），
∵CE′=CE-EE′=CA-AE-EE′=10-$\frac{18}{5}$-x=$\frac{32}{5}$-x，
∴NE′=CE′tan∠4=CE′•$\frac{AD}{CD}$=（$\frac{32}{5}$-x）×$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x），
∴S_重疊=S_△A′CM-S_△CE′N=$\frac{1}{2}$×（10-x）•$\frac{2}{3}$（10-x）-$\frac{1}{2}$×（$\frac{32}{5}$-x）•$\frac{4}{3}$（$\frac{32}{5}$-x）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{28}{15}$x+$\frac{452}{75}$；
③如圖3，當$\frac{32}{5}$＜x≤10時，

∵A′C=AC-AA′，
∴過點M作MK⊥A′C于點K，
由②知MA′=MC，
∴CK=$\frac{1}{2}$A′C=$\frac{1}{2}$（10-x），
則MK=CMtan∠MCK=CM•$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8}{6}$=$\frac{2}{3}$（10-x），
∴S_重疊=$\frac{1}{2}$A′C•MK=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{2}{3}$（10-x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{20}{3}$x+$\frac{100}{3}$；
綜上，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{27}{56}{x}^{2}+\frac{27}{10}x+\frac{241}{50}}&{（0＜x≤\frac{14}{5}）}\\{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{28}{15}x+\frac{452}{75}}&{（\frac{14}{5}＜x≤\frac{32}{5}）}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{3}}&{（\frac{32}{5}＜x≤10）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查四邊形的綜合，考查的知識點有翻折的性質、平移的性質、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質及等腰三角形的判定與性質等，根據割補法求三角形面積利用解直角三角形、相似三角形的判定與性質及等腰三角形的判定與性質得出所需線段的長度是解題的關鍵．