Question

6．如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2$\sqrt{3}$，⊙O是△ABC的外接圓，D是優弧AmC上任意一點（不包括A，C），記四邊形ABCD的周長為y，BD的長為x，則y關于x的函數關系式是（　　）

• A． y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+4
• B． y=$\sqrt{3}$x+4
• C． y=$\sqrt{3}$x²+4
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+4

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形和等邊三角形，證明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根據30°角的笥質表示DF和DG的長，計算四邊形ABCD的周長即可．

解答 解：連接OB交AC于E，連接OC、OB，
過B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延長線于G，交CD于F，
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BDA=∠BDC，
∴BG=BF，
在Rt△AGB和Rt△CFB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGB≌Rt△CFB（HL），
∴AG=FC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴OB⊥AC，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在△AOB和△COB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{OB=OB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=∠ADB=30°，
Rt△BDF中，BD=x，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
同理得：DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x，
Rt△BEC中，∠BCA=30°，
∴BE=1，BC=2，
∴AB=BC=2，
∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$x+4，
故選B．

點評 本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理等知識，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是關鍵，利用直角三角形30°角的性質解決問題．