Question

11．如圖，在△ABC中，∠B=60°，CD為AB邊上的高，E為AC邊的中點，點F在BC邊上，∠EDF=60°，若BF=3，CF=5，則AC邊的長為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 過D作DM⊥BC于M，根據直角三角形的性質得到BD=$\frac{1}{2}$BC=4，得到DM=2$\sqrt{3}$，BM=2，MF=1，DF=$\sqrt{13}$，取BC的中點H，連接DH，EH，根據三角形的中位線的性質得到EH∥AB，根據平行線的性質得到∠EHD=60°，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：過D作DM⊥BC于M，
∵CD為AB邊上的高，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=60°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DM=2$\sqrt{3}$，BM=2，
∴MF=1，DF=$\sqrt{13}$，
取BC的中點H，連接DH，EH，
∵E為AC邊的中點，
∴EH∥AB，
∴∠EHD=60°，
∵∠BDH=60°，∠EDF=60°，
∴∠BDF=∠HDE，
∴△BDF∽△HDE，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DH}{DE}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{13}}$=$\frac{4}{DE}$，
∴DE=$\sqrt{13}$，
∴AC=2$\sqrt{13}$．
故答案為：2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形中位線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．