Question

17．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，則BD的長為14．

Answer 1

分析 以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，由三角形ABE與三角形ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形EAC與三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的長就是BD的長．

解答 解：以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，

∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB\\;}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=10，EB=6，
過點E做BC的垂線交BC于點F，則∠EBF=60°，∠FEB=30°，
∴EF=3$\sqrt{3}$，FB=3，FC=10+3=13，
∴EC²=FC²+EF²=196，
∴BD=EC=14．
故答案為：14．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及余弦定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．