Question

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若

AE

AD

=

1

3

，則

BC

BD

=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：根據等邊三角形的性質就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性質就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：AD²+BD²=AB²，再設AE=k，則AD=3k，BD=k，求出BC=

5

k，進而得到

BC

BD

的值．

解答： 解：∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2BC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD，∠E=∠BDC，
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²．
∵

AE

AD

=

1

3

，
∴可設AE=k，則AD=3k，BD=k，
∴AB²=AD²+BD²=10k²=2BC²，
∴BC=

5

k，
∴

BC

BD

=

5 k

k

=

5

．
故答案為

5

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，直角三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．