Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠BCD=270°，連結AC，點E、F、G分別是AB、CD、AC的中點，連結EF、FG，分別將AD、BC作為邊長，向外作正方形．若這兩個正方形的面積和為12cm²，則EF的長度為$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如圖，連接EG，延長AD、BC交于點M．首先證明AM⊥BM，再證明EG⊥GF，根據EF=$\sqrt{E{G}^{2}+G{F}^{2}}$以及EG²+GF²=$\frac{1}{4}$（AD²+BC²）計算即可解決問題．

解答 解：如圖，連接EG，延長AD、BC交于點M．

∵∠ADC+∠BCD=270°，
∴∠MAB+∠B=360°-270°=90°，
∴∠M=90°，
∴AM⊥BM，
∵AE=EB，AG=GC，
∴EG∥BM，EG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AG=CG，CF=DF，
∴GF∥AM，GF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EG⊥GF，
∴△EGF是直角三角形，
∵AD²+BC²=12，
∴EG²+GF²=$\frac{1}{4}$（AD²+BC²）=3，
∴EF=$\sqrt{E{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，
故答案為$\sqrt{3}$cm．

點評 本題考查三角形中位線定理、正方形的性質、勾股定理、四邊形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，解題的突破點是發現△EGF是直角三角形，屬于中考常考題型．