Question

17．如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點C順時針方向旋轉60°，到△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．
（3）探索：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出結論；
（2）由旋轉的性質得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等邊三角形的性質得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；
（3）分三種情況：①AO=AD時；②OA=OD時；③OD=AD時；由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出結果．

解答 （1）證明：由旋轉的性質得：CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；
（2）解：當α=150°，即∠BOC=150°時，△AOD是直角三角形．理由如下：
由旋轉的性質得：△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
（3）解：分三種情況：
①AO=AD時，∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°
∴α=125°；
②OA=OD時，∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，
∴α-60°=50°
∴α=110°；
③OD=AD時，∠OAD=∠AOD．
∵190°-α=50°
∴α=140°．
綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．（

點評 本題是三角形綜合題目，以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質、全等三角形的性質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等）為載體，內容由淺入深，層層遞進．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數形結合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力．