Question

在□ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連接EG、GF、FH、HE．

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是______；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是______；
（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）四邊形EGFH是平行四邊形；
證明：∵?ABCD的對角線AC、BD交于點O，
∴點O是?ABCD的對稱中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）∵四邊形EGFH是平行四邊形，EF⊥GH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）菱形；
由（2）知四邊形EGFH是菱形，
當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；

（4）四邊形EGFH是正方形；
證明：∵AC=BD，
∴?ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四邊形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四邊形EGFH是正方形．