Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=x-2交于B、C兩點，其中點C是直線y=$\frac{1}{2}$x-2與y軸的交點，連接AC．
（1）求B、C兩點坐標以及拋物線的解析式；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法把問題轉化為方程組即可解決問題．
（2）根據勾股定理的逆定理即可判斷．
（3）分兩種情形求出矩形的面積的最大值①如圖2中，當四邊形EFGC是矩形時，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．②如圖3，當四邊形EFGD是矩形時，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，分別構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 （1）解：∵直線y=$\frac{1}{2}$x-2交x軸、y軸于B、C兩點，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c過B、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-6+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．                

（2）證明：如圖1，連接AC，

∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2與x負半軸交于A點，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為直角三角形．              

（3）解：△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為，理由如下：
①如圖2中，當四邊形EFGC是矩形時，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．

設GC=x，AG=$\sqrt{5}$-x，
∵$\frac{AG}{AC}$=$\frac{FG}{CB}$，
∴$\frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{2\sqrt{5}}$，
∴GF=2$\sqrt{5}$-2x，
∴S=GC•GF=x•（2$\sqrt{5}$-2x）=-2x²+2$\sqrt{5}$x=-2（x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{5}{2}$
即當x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，S最大，為$\frac{5}{2}$．
②如圖3，當四邊形EFGD是矩形時，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，

設GD=x，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{GD}{CB}$，
∴$\frac{AD}{5}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴CD=CA-AD=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵$\frac{CD}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}x}{\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{5}$，
∴DE=5-$\frac{5}{2}$x，
∴S=GD•DE=x•（5-$\frac{5}{2}$x）=-$\frac{5}{2}$x²+5x=-$\frac{5}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
即x=1時，S最大，為$\frac{5}{2}$．
綜上所述，△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數的綜合題、勾股定理的逆定理、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題．