Question

18．如圖①，OP是∠MON的平分線
（1）請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其它條件不變，請問，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)要求在OP上任取一點(diǎn)E，過E分別作兩邊的垂線，這樣就可以利用AAS來判定三角形全等；
（2）先在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，進(jìn)而得出FE=FD；
（3）先過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，則∠FGE=∠FHD=90°，根據(jù)已知條件得到∠GEF=∠HDF，進(jìn)而判定△EGF≌△DHF（AAS），即可得出FE=FD．也可以過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，再判定△EFG≌△DFH（ASA），進(jìn)而得出FE=FD．

解答 解：（1）如圖①，在OP上任取一點(diǎn)E，過E分別作CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED；


（2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：FE=FD．
理由：如圖②，在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG，

∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△AEF與△AGF中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE\\;}\\{∠1=∠2}\\{AF=AF（公共邊）}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG，
∵∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°，
又∵∠AFE為△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，
∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，
∴∠GFC=∠DFC，
在△CFG與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFC=∠DFC\\;}\\{FC=FC（公共邊）}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

（3）結(jié)論FE=FD仍然成立．
證法1：如圖③，過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，則∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴∠2+∠3=60°，F(xiàn)是△ABC的內(nèi)心，
∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的內(nèi)心，即F在∠ABC的角平分線上，
∴FG=FH，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF與△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠HDF}\\{∠FGE=∠FHD=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

證法2：如圖③，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴FG=FH=FK，
在四邊形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFG=∠DFH}\\{∠EGF=∠DHF=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．