Question

如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥DC．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當(dāng)CD=1時，求等腰梯形ABCD的周長．

Answer 1

（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，
∴∠C=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）解：過點D作DE∥AB，
∵AD∥BC，∴四邊形ABED為平行四邊形，
∵CD=1，∴BC=2，
∵∠C=60°，∴△DCE為等邊三角形，
∴CE=BE=1，AD=1，
∴等腰梯形ABCD的周長=AD+AB+CD+BC=1+1+1+2=5．
分析：（1）根據(jù)已知條件得∠DBC=30°，從而得出∠C=60°，則梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由直角三角形的性質(zhì)，可得出BC，過點D作DE∥AB，可得四邊形ABED為平行四邊形，△DCE為等邊三角形，從而得出CE，即得出BE，從而算出等腰梯形ABCD的周長．
點評：本題考查了等腰梯形的判定和性質(zhì)，平移一腰是常作的輔助線，要熟練掌握．