Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F，則下列結論：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF∽△AOF．其中一定成立的有（　　）個．

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 ①根據直徑所對的圓周角是90°得出結論正確；
②⑥在△AOF和△CFE中，由于對頂角∠AFO=∠CFE，可知因為∠A與∠C不一定相等，所以②和⑥不正確；
③根據同圓的半徑相等和平行線的性質得：∠ABC=∠CBD，可以得結論正確；
④由垂徑定理可得結論正確；
⑤由中位線定理可得結論正確．

解答 解：①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
所以選項①正確；
②∵C，D是⊙O上的點，
∴$\widehat{BD}$與$\widehat{AC}$不一定相等，
∴∠A與∠CBA不一定相等，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBA，
∴∠A與∠C不一定相等，
∵∠AFO=∠CFE，
∴∠AOC與∠AEC不一定相等，
∴△CEF與△AOF不一定相似，
所以②和⑥不正確；
③∵OB=OC，
∴∠C=∠ABC，
∵OC∥BD，
∴∠C=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴CB平分∠ABD，
所以③正確；
④∵OC∥BD，
∴∠AFO=∠ADB=90°，
∴OC⊥AD，
∴AF=DF，
所以④正確；
⑤∵AO=BO，AF=FD，
∴OF是△ABD的中位線，
∴BD=2OF，
所以⑤正確，
所以本題正確的結論有：①③④⑤，一共4個；
故選B．

點評 本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定、三角形的中位線定理、垂徑定理，應用的知識點較多，但難度不大，熟練掌握這些性質是本題的關鍵．