Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$交y軸于點A，交x軸于點B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點C、D在第一象限），且點D的縱坐標為9．
（1）求點A、點B的坐標；
（2）求直線DC的解析式；
（3）除點C外，在平面直角坐標系xOy中是否還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令一次函數中x=0、y=0，求出與之對應的y、x的值，由此即可得出點A、B的坐標；
（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，由點D的縱坐標為9即可得出AE的長，根據菱形的性質得出AB=AD，結合勾股定理即可求出點D的坐標，由DC∥AB可設直線DC的解析式為$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+b$，代入點D的坐標求出b值即可得出結論；
（3）假設存在，點C時以BD為對角線找出的點，再分別以AB、AD為對角線，根據平行四邊形的性質（對角線互相平分）結合點A、B、D的坐標即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）令$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$中x=0，則y=4，
∴點A（0，4）；
令$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+4$中y=0，則-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+4=0，解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴點B（$2\sqrt{3}$，0）．
（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，如圖1所示．
∵點D的縱坐標為9，OA=4，
∴AE=5．
∵四邊形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{O{A^2}+O{B^2}}=\sqrt{{4^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=2\sqrt{7}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{28-25}$=$\sqrt{3}$，
∴D（$\sqrt{3}$，9）．
∵四邊形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴設直線DC的解析式為$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+b$，
∵直線DC過點D（$\sqrt{3}$，9），
∴b=11，
∴直線DC的解析式為$y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+11$．
（3）假設存在．
以點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形還有兩種情況（如圖2）：
①以AB為對角線時，
∵A（0，4），B（$2\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，9），
∴點P（0+2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，4+0-9），即（$\sqrt{3}$，-5）；
②以AD為對角線時，
∵A（0，4），B（$2\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，9），
∴點P（0+$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$，4+9-0），即（-$\sqrt{3}$，13）．
故除點C外，在平面直角坐標系xOy中還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為（$\sqrt{3}$，-5）或（-$\sqrt{3}$，13）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、菱形的性質、勾股定理以及待定系數法求函數解析，解題的關鍵是：（1）分別代入x=0、y=0，求出與之對應的y、x的值；（2）求出點D的坐標；（3）分別以AB、AD為對角線求出點P的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行四邊形的性質（對角線互相平分），結合三個頂點的坐標求出另一頂點坐標是關鍵．