Question

已知拋物線y=Ax 2 +Bx+C與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；

（3）若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A.求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.

（4）若點N的坐標為（3，4），Q為x軸上一點，△ONQ為等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標。（14分）

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為 ；（2）當點D的坐標為（0,1）時，直線CD的解析式為y= x+1; 當點D的坐標為（0,2）時，直線CD的解析式為y= x+2.（3）.（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

【解析】

試題分析：（1）根據題意，C=3，

所以

解得

所以拋物線解析式為y=x2﹣x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）．

設直線CD的解析式為y=kx+B．

當點D的坐標為（0，1）時，直線CD的解析式為y=﹣x+1；

當點D的坐標為（0，2）時，直線CD的解析式為y=﹣x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，）．

∵點M與點M′關于x軸的對稱，

∴點為M′（0，﹣），

∴點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'（6，3）．

連接A'M'．

根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長．

∴A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點．

∴可求得直線A'M'的解析式為y=x﹣．

∴可得E點坐標為（2，0），F點坐標為（3，）．

由勾股定理可求出．

∴點P運動的最短總路徑（ME+EF+FA）的長為．（8分）

（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

考點：二次函數綜合