Question

14．如圖，已知：B是線段AD上的一點，△ABC、△BDE均為等邊三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．則下列結論成立的有（　　）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．

• A． 5個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質得出AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，證出∠ABE=∠CBD，由SAS證明△ABE≌△CBD，得出AE=CD，（1）正確；
由全等三角形的性質得出∠BAP=∠BCQ，證出∠ABC=∠CBQ=60°，由ASA證明△ABP≌△CBQ，得出BP=BQ，（2）正確；
由全等三角形的性質得出CQ=AP≠CA，（4）不正確；
證明△PBQ是等邊三角形，得出∠BPQ=60°=∠ABC，由平行線的判定方法得出PQ∥AD，（3）正確；
由AE=CD，AP=CQ，得出EP=QD，（5）正確；即可得出結論．

解答 解：∵△ABC、△BDE均為等邊三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴180°-∠EBD=180°-∠ABC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE與△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBD}&{\;}\\{BE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，（1）正確；
∴∠BAP=∠BCQ，
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ABC=∠CBQ=60°，
在△ABP與△CBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BCQ}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABC=∠CBQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP=BQ，（2）正確；
CQ=AP≠CA，（4）不正確；
∵∠CBQ=60°，BP=BQ，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴∠BPQ=60°=∠ABC，
∴PQ∥AD，（3）正確；
∵AE=CD，AP=CQ，
∴EP=QD，（5）正確；
正確的結論有4個．故選：D．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定及性質、平行線的判定等知識；本題綜合性強，難度不大，證明三角形全等是解決問題的關鍵．