Question

（本題12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．

（1）請用含t的代數式表示出點D的坐標；

（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？

（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．

 

Answer 1

（1）點D（t+1，）；（2）當t=2時，S最大=1；

當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形；

點D運動路線的長為．

【解析】

試題分析：（1）設出P點坐標，再求出CP的中點坐標，根據相似的性質即可求出D點坐標；

（2）根據D點的坐標及三角形的面積公式直接求解即可；

（3）先判斷出可能為直角的角，再根據勾股定理求解；

（4）根據點D的運動路線與OB平行且相等解答即可．

試題解析：（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

設CP的中點為F，

則F點的坐標為（，1），

∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，其坐標為（t+1，）；

（2）∵D點坐標為（t+1，），OA=4，

∴S△DPA=AP×=（4-t）×=（4t-t2）=-（t-2）2+1，

∴當t=2時，S最大=1；

（3）能構成直角三角形．

①當∠PDA=90°時，PC∥AD，

由勾股定理得，，

即（）2+1+（4-t-1）2+（）2=（4-t）2，

解得，t=2或t=-6（舍去）．

∴t=2秒．

②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，

∴CP:PD=CO:PA，

∴2:1=2:PA，

PA=1，

即t+1=4，t=3秒．

綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=，

∴點D運動路線的長為．

考點：二次函數的最值；待定系數法求一次函數解析式；直角三角形的性質；矩形的性質．