Question

9．如圖1是一個由正方體和正五棱柱組合的異型魔方，其俯視圖如圖2所示，若圖2中正方形的面積為a²，則陰影部分的面積是（　　）

• A． $\frac{5}{4}$a²tan54°
• B． $\frac{5}{4}$a²tan36°
• C． $\frac{5}{4}$a²cos36°
• D． $\frac{5}{4}$a²cos54°

Answer 1

分析 根據題意得出正五邊形的邊長AB=a，連接OA、OB，作OM⊥AB于M，則AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，由正五邊形和三角函數求出OM=$\frac{1}{2}$a•tan54°，由三角形的面積公式求出△AOB的面積，即可得出結果．

解答 解：∵圖2中正方形的面積為a²，
∴圖2中正方形的邊長為a，
即正五邊形的邊長AB為a，如圖所示：
連接OA、OB，作OM⊥AB于M，
則AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，∠AOB=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴∠AOM=36°，
∴∠OAM=54°，
∴OM=AM•tan54°=$\frac{1}{2}$a•tan54°，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a²•tan54°=$\frac{1}{4}$a²•tan54°，
∴正五邊形的面積=5×$\frac{1}{4}$a²•tan54°=$\frac{5}{4}$a²tan54°．
故選：A．

點評 本題考查略解直角三角形的應用、三視圖、正五邊形的性質以及有關計算；熟練掌握正五邊形的性質，通過解直角三角形求出OM是解決問題的關鍵．，