Question

1．已知2x+y=1．求x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 當(dāng)y=0時，x=$\frac{1}{2}$，可求得代數(shù)式的值，當(dāng)y≠0時，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞x+|x|≥0，即x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，設(shè)x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=k，通過變形可得到$\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=k-x，然后兩邊同時平方可得到關(guān)于x的方程，然后依據(jù)一元二次方程根的判別式可求得k的取值范圍，從而可求得代數(shù)式的最小值．

解答 解：當(dāng)y=0時，x=$\frac{1}{2}$，則x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
當(dāng)y≠0時，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞x+|x|≥0，即x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，
設(shè)x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=k（k＞0），則$\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=k-x，
∴x²+（1-2x）²=（k-x）²，
整理得：4x²+（2k-4）x+1-k²=0，
∵△=b²-4ac≥0，
∴（2k-4）²-4×4（1-k²）≥0，整理得：4k（5k-4）≥0．
∵k＞0，
∴5k-4≥0，
解得：k≥$\frac{4}{5}$．
所以x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查的是無理函數(shù)的最值問題，依據(jù)題意得到關(guān)于x的一元二次方程，并依據(jù)一元二次方程根的判別式列出關(guān)于k的不等式是解題的關(guān)鍵．