Question

2．（1）已知：如圖1，點O為直線AB上任意一點，射線OC為任意一條射線．OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE=90°；
（2）已知：如圖2，點O為直線AB上任意一點，射線OC為任意一條射線，其中∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，求∠DOE得度數；
（3）如圖3，點O為直線AB上任意一點，OD是∠AOC的平分線，OE在∠BOC內，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，∠DOE=72°，求∠BOE的度數．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°；
（2）根據∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC和平角的定義即可得到結論；
（3）設∠BOC=x°則∠COE=$\frac{1}{3}$x°，∠BOE=$\frac{2}{3}$x°，∠AOC=（180-x）°，由OD是∠AOC的平分線，得到∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=（90-$\frac{1}{2}$x）°，根據已知條件列方程即可得到結論．

解答 解：（1）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}∠$AOC，∠COE=$\frac{1}{2}∠$BOC，
∵∠AOB=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}∠AOB=90°$；
故答案為：90°；
（2）∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE，
=$\frac{1}{3}$∠AOC+$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{3}$∠AOB=60°；
（3）設∠BOC=x°則∠COE=$\frac{1}{3}$x°，∠BOE=$\frac{2}{3}$x°，∠AOC=180°-x°，
∵OD是∠AOC的平分線，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$x°，
∵∠DOE=72°，
∴90°-$\frac{1}{2}$x°+$\frac{1}{3}$x°=72°，
解得：x=108，
∴∠BOE=$\frac{2}{3}$×108°=72°．

點評 本題考查了角平分線的定義．根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉化求解．